A Importância da Matemática em Computação

Profº Ms. Sidney Leal da Silva
website: www.profsidney.com.br
Diante de uma nova cultura que procura cada vez mais diminuir o tempo de formação, a distância de fundamentos necessários tem se tornado determinante na diferenciação da qualidade dos profissionais em computação. Pensar em ser um profissional desta área sem conhecer conceitos básicos de matemática pode ser comparado a utilizar um barco sem leme. O problema da partilha, apresentado inicialmente, ajuda a perceber que conhecimentos simples podem facilitar a busca de uma solução prática, clara e sábia. Além disso, reconhecer que a matemática tem uma tradição e importância social e cultural na história humana há aproximadamente 5000 anos, é um passo inicial para aceitá-la melhor e incorporá-la na vida profissional. A necessidade de lidar com grande quantidade de dados e resolver problemas matemáticos insolúveis, a priori, foi a grande motivação para o surgimento do computador, que é a principal ferramenta da área de computação. Compreender o mundo atual significa acompanhá-lo e, para isso, conhecer e gostar de matemática tornou-se questão de sobrevivência. Desta forma, é natural perceber quão importante é a matemática também neste universo profissional.

Sugestões de aulas de Física utilizando Informática

Características de uma Onda

Aula de Física utilizando o software Modellus

Curiosidades Físicas!

Gravidade Zero

 É possível respirar em gravidade zero, ou quase zero. É o que acontece em naves com vôo tripulado, onde a cabine é pressurizada, ou seja, tem ar lá dentro, embora a gravidade local seja muito baixa ou até mesmo nula.

Não é possível criar, aqui na Terra, um ambiente sem gravidade. Pode-se, no entanto, simular a imponderabilidade (sensação de ausência de gravidade). Isto normalmente é feito com grandes aviões de carga que descrevem uma certa trajetória circular de grande raio, de tal forma que a aceleração centrípeta do avião se iguale com a aceleração da gravidade local. Quem está dentro do avião (os astronautas em treino, por exemplo), têm a sensação de ausência da gravidade. É só a sensação, pois na verdade há gravidade.

Os astronautas que estão na estação espacial internacional na órbita da Terra, neste momento, têm a sensação de ausência de gravidade, embora lá exista gravidade, de menor intensidade do que a da superfície da Terra, mas têm.

  A Nasa também treina seus astronautas numa enorme piscina (a maior do mundo, em volume), para que os astronautas tenham uma sensação de ausência de peso, devido ao empuxo da água.

Por que às vezes tomamos choque nas portas dos carros?

É muito provável que você já tenha experimentado a desconfortável sensação de tomar um leve choque ao encostar na porta do carro, ou mesmo ao cumprimentar uma pessoa, ou tocar em algum objeto que aparentemente não deveria dar choque por não estar ligado à corrente elétrica. Por que isso ocorre?
Primeiro temos que lembrar que o choque elétrico, nestes casos, é de baixa intensidade, e que o desconforto aparenta ser maior por que, em geral, estamos desprevenidos quando tomamos o choque. Digamos que o susto é maior do que a dor. De qualquer forma, de baixa intensidade ou não, ninguém os aprecia, a ponto de algumas pessoas irritadas chegarem a descontar seu furor no veículo, batendo, ou, até mesmo, chutando a porta.

Mas afinal, o que causa este choque? Será mesmo a lataria do carro a culpada, por estar descarregando cargas elétricas nos passageiros? A resposta é: muito provavelmente não. Embora o carro, em seu movimento, atrite com o ar, e possa acumular um pouco de carga elétrica, provavelmente esta carga não se acumula muito, dissipando por meio de qualquer saliência ou pontas do veículo, como a antena, por exemplo (lembre-se que este é o princípio o pára-raio: poder das pontas, por onde as cargas podem ser convergidas ou dissipadas).

No entanto, o motorista (ou o passageiro) do veículo em geral acumulam cargas elétricas devido ao atrito entre a roupa do motorista e o tecido do banco do veículo, principalmente nos dias de inverno seco, quando as pessoas usam blusas de lã (que se eletrizam facilmente por atrito). Lembre-se que no processo de eletrização por atrito os corpos atritados adquirem cargas de mesmo módulo, porém sinais opostos. Assim, dependendo do material do tecido do banco do veículo, a pessoa pode, por exemplo, ficar com excesso de cargas negativas. Como o volante do veículo e outros materiais que o motorista mantém contado são maus condutores de cargas elétricas, bem como o ar seco também é mau condutor, este motorista, somente descarregará seu excesso de cargas ao tocar em algum material condutor. Isto, em geral ocorre quando o passageiro toca na porta do carro que, por ser feita de metal, é boa condutora de cargas elétricas. Neste escoamento de cargas a pessoa sente o choque.

Assim, ironicamente, podemos até dizer que não é o carro que está dando o choque na pessoa, e sim, é a pessoa que pode estar descarregando cargas elétricas no carro.

Então, quando por algum motivo acumulamos cargas elétricas, acabaremos descarregando-as no primeiro material condutor que tocarmos. Às vezes isto acontece quando andamos descalços sobre o carpet e tomamos choque ao tocar em outra pessoa. Algumas crianças também se queixam que depois de descerem em escorregadores de plástico algumas vezes, tomam choque ao tocarem outras crianças ou ao encostarem nas grades metálicas.

Uma dica para você que vive tomando choque na porta do seu carro é colocar uma toalha no assento do veículo, assim, você diminuirá bastante a eletrização, por evitar o atrito entre o tecido da sua blusa e o tecido do banco do carro.

Autoridade do professor

"A autoridade reside no respeito que o professor é capaz de impor sem coerção aos alunos. Ela está ligada a seu papel, à missão da qual a escola o investe, bem como à sua personalidade, seu carisma pessoal." (TARDIF e LESSARD, 2005, p. 266)

Ser professor...

"Ser professor é para poucos. Ser professor é lutar pela transformação do indivíduo, acreditar nos valores e em uma sociedade mais justa e igualitária. Ser professor é acreditar nos sonhos, por mais utópicos que eles possam parecer, é alimentar-se de conhecimento e compartilhar esse alimento com todos aqueles que estiverem dispostos a recebê-lo. É lastimar pelas injustiças cometidas, mas não se deixar desmotivar." (PAROLIN, 2009, p. 44)

Para refletir

Afetividade e Aprendizagem:
"Lidamos diariamente com vidas em formação moral, intelectual, social e podemos deixar marcas profundas positivas ou negativas. Podemos encantar nossos alunos ou afastá-los da busca do conhecimento. [...] Ser afetuoso não é sinal de fraqueza, mas sinal de maturidade profissional com elevada dose de auto-estima. (PAROLIN, 2009, p. 83)"

Baricentro de um Triângulo

06/10/2010

Geogebra

Sugestão de atividade ”Baricentro de um Triângulo”

Baricentro= centro de gravidade

Objetivo: Compreender os conceitos geométricos envolvidos na construção do baricentro de um triângulo.

Procedimentos:

1°) procurar o conceito de baricentro

2°) procurar o conceito de mediana e vértice

3°) utilizar o Geogebra para:

a) traçar um triângulo;

b) identificar o ponto médio de cada lado do triângulo;

c) traças as três medianas;

d) identificar o ponto de intersecção das três medianas: “É O BARICENTRO”

O que são números imaginários e para que são usados?

Os números imaginários ou complexos são uma das tantas abstrações matemáticas que facilitam o cálculo e a resolução de muitos problemas. Em vários campos científicos e técnicos são utilizados durante o desenrolar de um problema e quando se querem extrair dados concretos para aplicar na realidade, quando se transpõe o resultado em número complexo para o resultado em número real, que é o que podemos "medir" (não podemos medir com um instrumento físico um número complexo).

A solução para muitas situações matemáticas pode ser encontrada com números complexos, sendo uma das mais habituais a resolução de equações de polinômios.

Origem dos Números Complexos

Os números complexos vêm sendo utilizados pelos matemáticos antes mesmo de receberem este nome e se definirem adequadamente, de modo que é difícil estabelecer como se originaram. O primeiro exemplo de problema que conduz ao que hoje conhecemos como números complexos, data dos anos 50 a.C., quando Heron de Alexandría tentava resolver a expressão [raiz quadrada (81-144)], em um problema do campo da estereometría.

A próxima referência foi encontrada na Índia, no ano 850, quando Mahavira escreveu: “... como acontece na Natureza, um número negativo não possui raiz quadrada". Em 1545 Girolamo Cardano deu a estes números o nome de "fictícios". Também em 1545, Cardan investigava sobre a obtenção de raízes de polinômios e os classificou segundo seu comportamento.

Foi finalmente Rene Descartes que deu a designação de "parte real" e "parte imaginária". Em 1702 Gottfried Wilhem von Leibniz descreveu os números complexos como “... a maravilhosa criatura de um trabalho imaginário, quase um anfíbio entre as coisas que são coisas e as coisas que não são". Mais tarde, Euler em 1777 introduziu a notação "i" e "-i" para distinguir as duas raízes quadradas de -1, e chamou estas quantidades de "imaginárias". Também estendeu as funções de tipo exponencial, introduzindo nelas um argumento complexo. Em 1797 Wessel e posteriormente Gauss em 1799 deram uma interpretação geométrica aos números complexos, contribuindo com isto para clarear sua interpretação.

Finalmente, em 1833 Hamilton propôs a expressão matemática dos números complexos como "a + ib" com "a" e "b" reais, recuperando os termos introduzidos por Descartes de "parte real" e "parte imaginária". Considera-se que este seja o marco de início da moderna formulação dos números complexos.

Softwares na Planificação de Sólidos

     Os estudos dos elementos dos sólidos geométricos são de grande importância para a melhor visualização das figuras no espaço. Na natureza encontramos variadas formas regulares e irregulares, o objeto de estudo enfocará as formas regulares e seus elementos: vértices, arestas e faces.

      O professor deve procurar recursos capazes de traduzir de forma clara e objetiva a construção de um sólido. Os desenhos consistem na forma mais simples de representá-los, mas precisamos ficar atentos aos alunos que não possuem habilidade na arte dos desenhos, pois eles podem ser prejudicados se utilizada somente esta metodologia.

Uma ferramenta auxiliar que pode ser utilizada no intuito de obter o melhor ensino-aprendizado no estudo das planificações são os softwares matemáticos. Eles possuem funções capazes de girar, revolucionar e planificar figuras espaciais. O POLY, por exemplo, consiste em um desses programas com características de analisar de forma geral os elementos de um sólido, determinando com exatidão o número de faces, vértices e arestas.

      O emprego dessa ferramenta dinamiza as aulas, pois a utilização está diretamente ligada a um computador e data-show, produzindo um recurso visual extremamente importante na fixação dos conteúdos.

     É possível também trabalhar a relação de Euler (V – A + F = 2) em conjunto com o software, realizando os cálculos e comprovando a veracidade dos resultados através desse programa.

Por Marcos Noé

Graduado em Matemática 

Equipe Brasil Escola

"Nascimento" dos Computadores

A guerra e os computadores

Foi na Segunda Guerra Mundial que realmente nasceram os computadores atuais. A Marinha americana, em conjunto com a Universidade de Harvard, desenvolveu o computador Harvard Mark I, projetado pelo professor Howard Aiken, com base no calculador analítico de Babbage. O Mark I ocupava 120m³ aproximadamente, conseguindo multiplicar dois números de dez dígitos em três segundos.

Com a II Guerra Mundial, as pesquisas aumentaram nessa área. Nos Estados Unidos, a Marinha, em conjunto com a Universidade de Harvard e a IBM, construiu em 1944 o Mark I, um gigante eletromagnético. Num certo sentido, essa máquina era a realização do projeto de Babbage.

Mark I ocupava 120 m³, tinha milhares de relés e fazia muito barulho. Uma multiplicação de números de 10 dígitos levava 3 segundos para ser efetuada.

Em segredo, o exército norte-americano também desenvolvia seu computador. Esse usava apenas válvulas e tinha por objetivo calcular as trajetórias de mísseis com maior precisão.

Simultaneamente, e em segredo, o Exército Americano desenvolvia um projeto semelhante, chefiado pelos engenheiros J. Presper Eckert e John Mauchy, cujo resultado foi o primeiro computador a válvulas, o Eletronic Numeric Integrator And Calculator (ENIAC)[2], capaz de fazer quinhentas multiplicações por segundo. Tendo sido projetado para calcular trajetórias balísticas, o ENIAC foi mantido em segredo pelo governo americano até o final da guerra, quando foi anunciado ao mundo.

O engenheiro John Presper Eckert (1919-1995) e o físico John Mauchly (1907-1980) projetaram o ENIAC: Eletronic Numeric Integrator And Calculator. Com 18 000 válvulas, o ENIAC conseguia fazer 500 multiplicações por segundo, porém só ficou pronto em 1946, vários meses após o final da guerra. Os custos para a manutenção e conservação do ENIAC eram proibitivos, pois dezenas a centenas de válvulas queimavam a cada hora e o calor gerado por elas necessitava ser controlado por um complexo sistema de refrigeração, além dos gastos elevadíssimos de energia elétrica.

No ENIAC, o programa era feito rearranjando a fiação em um painel. Nesse ponto John von Neumann propôs a ideia que transformou os calculadores eletrônicos em "cérebros eletrônicos": modelar a arquitetura do computador segundo o sistema nervoso central. Para isso, eles teriam que ter três características:

1. Codificar as instruções de uma forma possível de ser armazenada na memória do computador. Von Neumann sugeriu que fossem usados uns e zeros;
2. Armazenar as instruções na memória, bem como toda e qualquer informação necessária à execução da tarefa;
3. Quando processar o programa, buscar as instruções diretamente na memória, ao invés de lerem um novo cartão perfurado a cada passo.

Este é o conceito de programa armazenado, cujas principais vantagens são: rapidez, versatilidade e automodificação. Assim, o computador programável que conhecemos hoje, onde o programa e os dados estão armazenados na memória ficou conhecido como Arquitetura de von Neumann.

Para divulgar essa ideia, von Neumann publicou sozinho um artigo. Eckert e Mauchy não ficaram muito contentes com isso, pois teriam discutido muitas vezes com ele. O projeto ENIAC acabou se dissolvendo em uma chuva de processos, mas já estava criado o computador moderno.

Aula com o Software Poly

1- Explore livremente o programa

2- Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas realçadas. Depois, clique em Sólidos Platônicos. Na tela já aparecerá um Tetraedro (um tetraedro regular). Com o botão direito (ou esquerdo) do mouse pressionado, movimente o sólido e:

a) Determine:

- o número de faces: 4

- o número de arestas: 6

- o número de vértices: 4

b) planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas.

c) Verifique se a relação V + F = A + 2 (relação de Euler), sendo V o número de vértices, F o número de faces e A o número de arestas, é válida para o sólido analisado.

V + F = A + 2

4 + 4 = 6 + 2

8 = 8

Logo a Relação de Euler é válida para o sólido analisado.

3- Repita a atividade 2 para o octaedro.

a) Determine:

- o número de faces: 8

- o número de arestas: 12

- o número de vértices: 6

b) planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas.

c) Verifique se a relação V + F = A + 2 (relação de Euler), sendo V o número de vértices, F o número de faces e A o número de arestas, é válida para o sólido analisado.

V + F = A + 2

6 + 8 = 12 + 2

14 = 14

4- Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas realçadas. Depois, clique em Sólidos de Arquimedes. Na tela já aparecerá um Tetraedro Truncado.

Observe que este sólido é composto de 4triângulos eqüiláteros e 4 hexágonos regulares e:

a) determine o número de arestas desse sólido, sem contar uma a uma: 18

b) utilize a relação de Euler e determine o número de vértices.

8 Faces –

V + F = A + 2

V + 8 = 18 + 2

V = 20 – 8

V = 12

c) observe o sólido e sua planificação e verifique se seus resultados estão corretos.

5 – Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas realçadas. Depois, clique em Prismas e Antiprismas. Na tela já aparecerá um prisma triangular. Observe o sólido e:

a) Determine:

- o número de faces: 5

- o número de arestas: 9

- o número de vértices: 6

b) planifique o sólido e confira suas respostas.

c) verifique se a relação de Euler é válida para o sólido analisado.

V + F = A + 2

6 + 5 = 9 + 2

11 = 11

Logo a Relação de Euler é válida para o sólido analisado.

Números Binários

O sistema binário de computação já era conhecido na China uns 3000 anos a.C., de acordo com os manuscritos da época. Quarenta e seis séculos depois, Leibniz redescobre o sistema binário. Este sistema de numeração binário é muito importante, na medida em que, modernamente, é de largo alcance por ser utilizado nas calculadoras eletrônicas, computadores e nas estruturas que envolvem relações binárias. Este sistema pode ser chamado sistema de base dois, binário ou dual, o qual utiliza apenas dois algarismos, o zero e o um.

Vamos aprender a transformar um número no sistema decimal para o sistema binário.

Devemos fazer a divisão (sem usar a calculadora) do número por dois (sempre dois, pois o sistema é binário) o resto será zero ou um, devemos fazer essa divisão até obter quociente um.

Exemplo: Represente o número 45 no sistema binário:

45:2=22 resto 1

22:2=11 resto 0

11:2=5 resto 1

5:2= 2 resto 1

2:2= 1 resto 0

O número binário será 1
mais todos os restos das divisões de baixo para cima, ou seja, 0, 1, 1, 0 e 1.

Curiosidade

O traço do sete

De todos os números de nosso sistema, o sete é considerado um número sagrado pela maioria dos povos antigos.

Porém, não há nada de sagrado, nem segredos ou mistérios em torno da grafia do número 7. Para melhor entender as várias grafias do número 7, deve-se lembrar que nosso sistema é originário do sistema indo-arábico. Já viu antes um texto escrito em árabe? A forma manuscrita, esquisita para os povos ocidentais, traz indícios de uma escrita rápida, como a escrita das taquigrafas atuais. Nos livros produzidos pelos sábios árabes de onde os ocidentais da Idade Média copiaram os algarismos que usamos até hoje, os algarismos eram manuscritos, e as "letras" dos escribas, hindus ou árabes, eram muito diferentes entre si, tal como são nossas assinaturas.

O traço do sete é um recurso utilizado nas escolas para que os alunos das séries iniciais diferenciem sua forma, da escrita do número 1. O mesmo recurso é utilizado tem sido utilizado em atividades relacionadas à informática, para orientar os digitadores na diferenciação do "zero" em relação à letra "O". O zero é colocando-se um traço interno na diagonal.

Moral da história: Não há obrigatoriedade em escrever o sete com traço, nem sem traço.

A Introdução da Informática na Educação

A Informática vem adquirindo cada vez mais relevância no cenário educacional.  Sua utilização como instrumento de aprendizagem e sua ação no meio social vêm aumentando de forma rápida entre nós. Nesse sentido, a educação vem passando por mudanças estruturais e funcionais frente a essa nova tecnologia. Houve época em que era necessário justificar a introdução da Informática na escola. Hoje já existe consenso quanto à sua importância. Entretanto o que vem sendo questionado é da forma com que essa introdução vem ocorrendo. É necessário discutir alguns pontos, de suma importância, que possam gerar uma reflexão sobre a introdução da Informática na escola, como: o ser humano e a tecnologia, Informática x currículo, o processo de introdução da Informática, a função do coordenador de Informática.

Texto de Professor Ms. João Luiz Derkoski

Matemática e Informática

 A Informática no Ensino da Matemática

As novas tecnologias surgiram da necessidade do homem de tornar o mundo mais dinâmico e eficiente, a área da informática tem se desenvolvido de forma acelerada, a disputa tecnológica tem se tornado o principal objetivo das grandes nações. De certo modo, todos são atingidos pelas constantes mudanças ocorridas no mundo moderno.

No papel de educadores, devemos tomar conhecimento da importância da introdução da Informática nos conteúdos programáticos relacionados à Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio, de acordo com a área de abrangência. Nos assuntos relacionados à Matemática, a Informática possui uma estreita relação com os cálculos. Desde a Antiguidade o homem já utilizava de recursos para registrar suas descobertas, ele desenhava nas paredes das cavernas, registrava situações em ossos, relacionava objetos a pedras na efetivação de cálculos.

A notória evolução da Informática possui um elo com a Matemática, os códigos binários apresentados pelo matemático indiano Pingala (sec. III a.C.) e desenvolvidos, no século XVIII, por Gottfried Leibniz, se tornaram essenciais para o desenvolvimento dos aparelhos eletrônicos.

Atualmente a informática se tornou um objeto essencial para quem busca espaço na sociedade moderna em que vivemos. É evidente a introdução de computadores nas instituições de ensino, os alunos, desde os estudos iniciais, devem manter contato com as máquinas computadorizadas, tanto no âmbito do entretenimento quanto no desenvolvimento de atividades; desde que as ações pedagógicas estejam relacionadas a situações de experimento, interpretação, indução, visualização, demonstração e generalização.

A forma de integração entre Informática e Matemática possui inúmeras vertentes, ficando a critério do profissional da educação escolher qual delas irá seguir, mas uma boa opinião engloba os softwares matemáticos e os jogos computacionais que envolvem situações matemáticas concretas. Os jogos computadorizados são elaborados para o entretenimento dos alunos e com isso prender sua atenção, o que contribui no aprendizado de conceitos, conteúdos e habilidades, pois estimulam a autoaprendizagem, a descoberta, provoca a curiosidade, agrupando a fantasia e o desafio. 

Escrito por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

18/08/2010

Sugestão de Aula

“Geometria Analítica” – 3º ano Ensino Médio

1 – Distância entre dois pontos

Sugere-se apresentar aos alunos o cálculo do tamanho de um feto ou do tamanho de um tumor cerebral. Para isso, imagina-se dentro do plano cartesiano, no Geogebra, o feto ou o tumor cerebral. Deve-se clicar em duas extremidades do objeto em estudo (dois pontos) e traçar o triangulo retângulo. Faz-se isso porque o programa que determina o tamanho dos objetos faz exatamente isso, utiliza o Teorema de Pitágoras para determinar a distância entre os dois pontos determinados (o tamanho do objeto).

2 – Posição relativa entre um ponto e uma circunferência

Precisamos analisar as posições relativas entre um ponto e uma circunferência que são três: interno, tangente e externo.

A sugestão é a seguinte, no Geogebra deve ser inserida uma circunferência de raio conhecido. Dentro, sobre e fora da circunferência deve-se fixar pontos. A análise é assim: cada ponto representa uma residência que possui um telefone celular e a circunferência representa as ondas eletromagnéticas emitidas pela torre de celular. As ondas eletromagnéticas têm um raio determinado e observa-se o seguinte:

-                            ponto dentro da circunferência: todas as residências irão receber o sinal do celular. A distância do ponto ao centro da circunferência é MENOR que o raio, então o ponto é interior á circunferência;

-                            ponto sobre a circunferência: todas as residências que estão sobre a circunferência irão receber o sinal do celular. A distância do ponto ao centro da circunferência é igual ao raio e o ponto é tangente à circunferência;

ponto fora da circunferência: todas as residências que estão fora da circunferência não irão receber o sinal do celular. A distância do ponto ao centro da circunferência é maior que o raio e o ponto é exterior à circunferência.

 

3 – Posição relativa entre uma reta e uma circunferência:

      Após trabalhar como se determina a equação de uma reta, a sugestão é trabalhar com o Geogebra. No plano cartesiano deve ser desenhada uma circunferência de raio conhecido. Cortando em dois pontos a circunferência, deve-se desenhar uma reta e observar a distância entre a reta e o centro da circunferência. Observa-se que a distancia é menor que o raio da circunferência , então a reta é secante.

         Na seqüência pede-se para desenhar uma reta que passa por apenas um ponto da circunferência. Ao analisar a distância do centro da circunferência até esse ponto, observa-se que ela é igual ao raio da circunferência. Nesse caso, a reta é tangente à circunferência.

         Para finalizar, faz-se o desenho de uma reta que passa longe da circunferência. Ao analisar a distancia do centro da circunferência à reta observa-se que é maior que o raio da circunferência. Nesse caso a reta é externa à circunferência

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Aula com Geogebra

Planos de aula de matemática para o Ensino Fundamental usando informática:

Þ5ª série:

* Comprimento da circunferência

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/Taila_Naira_Tania/cir_comp.htm

* Área de Triângulos

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/Taila_Naira_Tania/tria_are.htm

* Volume de Paralelepípedos e Cubos

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/Taila_Naira_Tania/volumes1.htm

* Divisão  de frações

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/fracaodiv0.htm

Þ 6ª série:

* Multiplicação de Números Inteiros

* Números inteiros: Viajando com a matemática

* Equação do 1º grau

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/ativa/enigma.html

* Multiplicação de números Inteiros

* Propriedades da potência

Þ 7ª série:

* Expressões Algébricas

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/expressoes/expressoes.htm

* Valor numérico da expressões algébricas

* Expressões algébricas através da geometria

* Valor numérico de expressões algébricas

* Valor numérico de expressões algébricas http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/amem/prontos/Leonogildo_Raquel.xls

Þ 8ª série:

* Complementar de um conjunto com relação a outro

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/amem/encomendas/opera_conjuntos/menos.htm

* União e  Interseção de dois conjuntos

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/amem/encomendas/opera_conjuntos/interuniao.htm