O que são números imaginários e para que são usados?

Os números imaginários ou complexos são uma das tantas abstrações matemáticas que facilitam o cálculo e a resolução de muitos problemas. Em vários campos científicos e técnicos são utilizados durante o desenrolar de um problema e quando se querem extrair dados concretos para aplicar na realidade, quando se transpõe o resultado em número complexo para o resultado em número real, que é o que podemos "medir" (não podemos medir com um instrumento físico um número complexo).

A solução para muitas situações matemáticas pode ser encontrada com números complexos, sendo uma das mais habituais a resolução de equações de polinômios.

Origem dos Números Complexos

Os números complexos vêm sendo utilizados pelos matemáticos antes mesmo de receberem este nome e se definirem adequadamente, de modo que é difícil estabelecer como se originaram. O primeiro exemplo de problema que conduz ao que hoje conhecemos como números complexos, data dos anos 50 a.C., quando Heron de Alexandría tentava resolver a expressão [raiz quadrada (81-144)], em um problema do campo da estereometría.

A próxima referência foi encontrada na Índia, no ano 850, quando Mahavira escreveu: “... como acontece na Natureza, um número negativo não possui raiz quadrada". Em 1545 Girolamo Cardano deu a estes números o nome de "fictícios". Também em 1545, Cardan investigava sobre a obtenção de raízes de polinômios e os classificou segundo seu comportamento.

Foi finalmente Rene Descartes que deu a designação de "parte real" e "parte imaginária". Em 1702 Gottfried Wilhem von Leibniz descreveu os números complexos como “... a maravilhosa criatura de um trabalho imaginário, quase um anfíbio entre as coisas que são coisas e as coisas que não são". Mais tarde, Euler em 1777 introduziu a notação "i" e "-i" para distinguir as duas raízes quadradas de -1, e chamou estas quantidades de "imaginárias". Também estendeu as funções de tipo exponencial, introduzindo nelas um argumento complexo. Em 1797 Wessel e posteriormente Gauss em 1799 deram uma interpretação geométrica aos números complexos, contribuindo com isto para clarear sua interpretação.

Finalmente, em 1833 Hamilton propôs a expressão matemática dos números complexos como "a + ib" com "a" e "b" reais, recuperando os termos introduzidos por Descartes de "parte real" e "parte imaginária". Considera-se que este seja o marco de início da moderna formulação dos números complexos.

Softwares na Planificação de Sólidos

     Os estudos dos elementos dos sólidos geométricos são de grande importância para a melhor visualização das figuras no espaço. Na natureza encontramos variadas formas regulares e irregulares, o objeto de estudo enfocará as formas regulares e seus elementos: vértices, arestas e faces.

      O professor deve procurar recursos capazes de traduzir de forma clara e objetiva a construção de um sólido. Os desenhos consistem na forma mais simples de representá-los, mas precisamos ficar atentos aos alunos que não possuem habilidade na arte dos desenhos, pois eles podem ser prejudicados se utilizada somente esta metodologia.

Uma ferramenta auxiliar que pode ser utilizada no intuito de obter o melhor ensino-aprendizado no estudo das planificações são os softwares matemáticos. Eles possuem funções capazes de girar, revolucionar e planificar figuras espaciais. O POLY, por exemplo, consiste em um desses programas com características de analisar de forma geral os elementos de um sólido, determinando com exatidão o número de faces, vértices e arestas.

      O emprego dessa ferramenta dinamiza as aulas, pois a utilização está diretamente ligada a um computador e data-show, produzindo um recurso visual extremamente importante na fixação dos conteúdos.

     É possível também trabalhar a relação de Euler (V – A + F = 2) em conjunto com o software, realizando os cálculos e comprovando a veracidade dos resultados através desse programa.

Por Marcos Noé

Graduado em Matemática 

Equipe Brasil Escola

"Nascimento" dos Computadores

A guerra e os computadores

Foi na Segunda Guerra Mundial que realmente nasceram os computadores atuais. A Marinha americana, em conjunto com a Universidade de Harvard, desenvolveu o computador Harvard Mark I, projetado pelo professor Howard Aiken, com base no calculador analítico de Babbage. O Mark I ocupava 120m³ aproximadamente, conseguindo multiplicar dois números de dez dígitos em três segundos.

Com a II Guerra Mundial, as pesquisas aumentaram nessa área. Nos Estados Unidos, a Marinha, em conjunto com a Universidade de Harvard e a IBM, construiu em 1944 o Mark I, um gigante eletromagnético. Num certo sentido, essa máquina era a realização do projeto de Babbage.

Mark I ocupava 120 m³, tinha milhares de relés e fazia muito barulho. Uma multiplicação de números de 10 dígitos levava 3 segundos para ser efetuada.

Em segredo, o exército norte-americano também desenvolvia seu computador. Esse usava apenas válvulas e tinha por objetivo calcular as trajetórias de mísseis com maior precisão.

Simultaneamente, e em segredo, o Exército Americano desenvolvia um projeto semelhante, chefiado pelos engenheiros J. Presper Eckert e John Mauchy, cujo resultado foi o primeiro computador a válvulas, o Eletronic Numeric Integrator And Calculator (ENIAC)[2], capaz de fazer quinhentas multiplicações por segundo. Tendo sido projetado para calcular trajetórias balísticas, o ENIAC foi mantido em segredo pelo governo americano até o final da guerra, quando foi anunciado ao mundo.

O engenheiro John Presper Eckert (1919-1995) e o físico John Mauchly (1907-1980) projetaram o ENIAC: Eletronic Numeric Integrator And Calculator. Com 18 000 válvulas, o ENIAC conseguia fazer 500 multiplicações por segundo, porém só ficou pronto em 1946, vários meses após o final da guerra. Os custos para a manutenção e conservação do ENIAC eram proibitivos, pois dezenas a centenas de válvulas queimavam a cada hora e o calor gerado por elas necessitava ser controlado por um complexo sistema de refrigeração, além dos gastos elevadíssimos de energia elétrica.

No ENIAC, o programa era feito rearranjando a fiação em um painel. Nesse ponto John von Neumann propôs a ideia que transformou os calculadores eletrônicos em "cérebros eletrônicos": modelar a arquitetura do computador segundo o sistema nervoso central. Para isso, eles teriam que ter três características:

1. Codificar as instruções de uma forma possível de ser armazenada na memória do computador. Von Neumann sugeriu que fossem usados uns e zeros;
2. Armazenar as instruções na memória, bem como toda e qualquer informação necessária à execução da tarefa;
3. Quando processar o programa, buscar as instruções diretamente na memória, ao invés de lerem um novo cartão perfurado a cada passo.

Este é o conceito de programa armazenado, cujas principais vantagens são: rapidez, versatilidade e automodificação. Assim, o computador programável que conhecemos hoje, onde o programa e os dados estão armazenados na memória ficou conhecido como Arquitetura de von Neumann.

Para divulgar essa ideia, von Neumann publicou sozinho um artigo. Eckert e Mauchy não ficaram muito contentes com isso, pois teriam discutido muitas vezes com ele. O projeto ENIAC acabou se dissolvendo em uma chuva de processos, mas já estava criado o computador moderno.

Aula com o Software Poly

1- Explore livremente o programa

2- Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas realçadas. Depois, clique em Sólidos Platônicos. Na tela já aparecerá um Tetraedro (um tetraedro regular). Com o botão direito (ou esquerdo) do mouse pressionado, movimente o sólido e:

a) Determine:

- o número de faces: 4

- o número de arestas: 6

- o número de vértices: 4

b) planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas.

c) Verifique se a relação V + F = A + 2 (relação de Euler), sendo V o número de vértices, F o número de faces e A o número de arestas, é válida para o sólido analisado.

V + F = A + 2

4 + 4 = 6 + 2

8 = 8

Logo a Relação de Euler é válida para o sólido analisado.

3- Repita a atividade 2 para o octaedro.

a) Determine:

- o número de faces: 8

- o número de arestas: 12

- o número de vértices: 6

b) planifique o sólido utilizando os recursos do software, e confira suas respostas.

c) Verifique se a relação V + F = A + 2 (relação de Euler), sendo V o número de vértices, F o número de faces e A o número de arestas, é válida para o sólido analisado.

V + F = A + 2

6 + 8 = 12 + 2

14 = 14

4- Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas realçadas. Depois, clique em Sólidos de Arquimedes. Na tela já aparecerá um Tetraedro Truncado.

Observe que este sólido é composto de 4triângulos eqüiláteros e 4 hexágonos regulares e:

a) determine o número de arestas desse sólido, sem contar uma a uma: 18

b) utilize a relação de Euler e determine o número de vértices.

8 Faces –

V + F = A + 2

V + 8 = 18 + 2

V = 20 – 8

V = 12

c) observe o sólido e sua planificação e verifique se seus resultados estão corretos.

5 – Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas realçadas. Depois, clique em Prismas e Antiprismas. Na tela já aparecerá um prisma triangular. Observe o sólido e:

a) Determine:

- o número de faces: 5

- o número de arestas: 9

- o número de vértices: 6

b) planifique o sólido e confira suas respostas.

c) verifique se a relação de Euler é válida para o sólido analisado.

V + F = A + 2

6 + 5 = 9 + 2

11 = 11

Logo a Relação de Euler é válida para o sólido analisado.

Números Binários

O sistema binário de computação já era conhecido na China uns 3000 anos a.C., de acordo com os manuscritos da época. Quarenta e seis séculos depois, Leibniz redescobre o sistema binário. Este sistema de numeração binário é muito importante, na medida em que, modernamente, é de largo alcance por ser utilizado nas calculadoras eletrônicas, computadores e nas estruturas que envolvem relações binárias. Este sistema pode ser chamado sistema de base dois, binário ou dual, o qual utiliza apenas dois algarismos, o zero e o um.

Vamos aprender a transformar um número no sistema decimal para o sistema binário.

Devemos fazer a divisão (sem usar a calculadora) do número por dois (sempre dois, pois o sistema é binário) o resto será zero ou um, devemos fazer essa divisão até obter quociente um.

Exemplo: Represente o número 45 no sistema binário:

45:2=22 resto 1

22:2=11 resto 0

11:2=5 resto 1

5:2= 2 resto 1

2:2= 1 resto 0

O número binário será 1
mais todos os restos das divisões de baixo para cima, ou seja, 0, 1, 1, 0 e 1.

Curiosidade

O traço do sete

De todos os números de nosso sistema, o sete é considerado um número sagrado pela maioria dos povos antigos.

Porém, não há nada de sagrado, nem segredos ou mistérios em torno da grafia do número 7. Para melhor entender as várias grafias do número 7, deve-se lembrar que nosso sistema é originário do sistema indo-arábico. Já viu antes um texto escrito em árabe? A forma manuscrita, esquisita para os povos ocidentais, traz indícios de uma escrita rápida, como a escrita das taquigrafas atuais. Nos livros produzidos pelos sábios árabes de onde os ocidentais da Idade Média copiaram os algarismos que usamos até hoje, os algarismos eram manuscritos, e as "letras" dos escribas, hindus ou árabes, eram muito diferentes entre si, tal como são nossas assinaturas.

O traço do sete é um recurso utilizado nas escolas para que os alunos das séries iniciais diferenciem sua forma, da escrita do número 1. O mesmo recurso é utilizado tem sido utilizado em atividades relacionadas à informática, para orientar os digitadores na diferenciação do "zero" em relação à letra "O". O zero é colocando-se um traço interno na diagonal.

Moral da história: Não há obrigatoriedade em escrever o sete com traço, nem sem traço.

A Introdução da Informática na Educação

A Informática vem adquirindo cada vez mais relevância no cenário educacional.  Sua utilização como instrumento de aprendizagem e sua ação no meio social vêm aumentando de forma rápida entre nós. Nesse sentido, a educação vem passando por mudanças estruturais e funcionais frente a essa nova tecnologia. Houve época em que era necessário justificar a introdução da Informática na escola. Hoje já existe consenso quanto à sua importância. Entretanto o que vem sendo questionado é da forma com que essa introdução vem ocorrendo. É necessário discutir alguns pontos, de suma importância, que possam gerar uma reflexão sobre a introdução da Informática na escola, como: o ser humano e a tecnologia, Informática x currículo, o processo de introdução da Informática, a função do coordenador de Informática.

Texto de Professor Ms. João Luiz Derkoski